“La luz no puede empezar a viajar en cualquier dirección y hacer rectificaciones más tarde, porque el camino resultante de ese comportamiento no sería el más rápido posible. La luz tiene que hacer todos sus cálculos al principio de todo”.
—Ted Chiang, La historia de tu vida.
Una de las películas de ciencia ficción más elogiadas de los últimos años ha sido La llegada (2016), tanto por la carga emocional de la historia como por la experiencia visual de los logogramas circulares que expelen los heptápodos —es decir, seres extraterrestres— a manera de escritura desde sus extremidades.
Gran parte de La llegada está basada en un cuento de ciencia ficción de Ted Chiang, La historia de tu vida (Marelle, 2021). Además de sus excelentes cuentos, algo que también caracteriza a Chiang es su apertura a compartir, al final de sus libros, algunos detalles de su carpintería secreta, como las ideas seminales de las cuales surgen todos sus relatos.
De acuerdo con Chiang, La historia de tu vida hunde sus raíces en la historia de la óptica, en particular en el llamado principio de tiempo mínimo de Fermat. Este principio formulado alrededor de 1650 por Pierre Fermat establece que un rayo de luz, al propagarse de un punto a otro, siempre tomará el trayecto que requiera el menor tiempo.1 Cuando la luz viaja a través de un mismo medio (por ejemplo, el aire) resulta indistinto hablar de minimizar la distancia o el tiempo que le toma al rayo de luz ir de un punto a otro. Pero esto cambia cuando la luz se propaga de un medio a otro, como en el caso del aire al agua, donde se da el fenómeno de la refracción: la luz cambia de dirección y velocidad.
Sin embargo, a pesar de estos cambios y de todos los posibles caminos que la luz puede tomar (unos más cortos que otros), ésta pasa de un medio a otro utilizando el camino que requiere el menor tiempo.
En su momento, este principio causó controversia porque, tal y como estaba formulado por Fermat, daba la impresión de que el rayo de luz “conocía” de antemano el punto al cual tendría que llegar y así “decidía” el camino más rápido. Dicha implicación no es verdadera,2 pero es precisamente de este juego en la causalidad (es decir, la luz conoce de antemano todos los caminos posibles y decide cuál es el más rápido) de la que se vale Chiang para explorar no sólo cómo conciben los heptápodos el concepto de tiempo para darle sentido a su realidad, sino también cómo respondería un ser humano ante lo inevitable —tema central de la protagonista en el cuento.
Filosofía y dilemas existenciales aparte, el entendimiento del fenómeno de la refracción de la luz hasta su formulación cuántica del principio de tiempo mínimo de Fermat tiene en su haber la participación de una variedad de figuras ilustres que bien vale la pena contar.
Alrededor del año 60 de nuestra era, Herón de Alejandría consignó en su obra Catóptrica (parte de la óptica que estudia la reflexión de la luz) la demostración matemática de la igualdad de los ángulos formados cuando un rayo de luz incide sobre un espejo y luego es reflejado.3 La suposición detrás de la demostración era que la trayectoria que sigue el rayo de luz cuando va del espejo al ojo del observador es la más corta.
Posteriormente, en el 150 de nuestra era, el astrónomo Claudio Ptolomeo de Alejandría hizo contribuciones al estudio del comportamiento de la luz, las cuales compiló en su libro Óptica. En este libro, Ptolomeo describe las mediciones que verifican la ley de los ángulos iguales propuestas en la Catóptrica de Herón, extendiendo la aplicación de esta ley a espejos curvos. Al final de su libro, Ptolomeo incluye en sus estudios el fenómeno de la refracción, es decir, la curvatura de los rayos de luz al pasar de un medio transparente como el aire a otro como el agua. Para tal fin, construyó un disco al que marcó la medida de varios ángulos, y luego lo suspendió a la mitad de un recipiente con agua. Con dicho arreglo pudo medir los ángulos de incidencia y refracción de los rayos de luz con diferencias de una fracción de grado o unos pocos grados con respecto a mediciones actuales. Sin embargo, Ptolomeo no pudo derivar una ley que explicara por qué la luz formaba esos ángulos de refracción.
Luego entraría en escena René Descartes. Con la publicación de su Discurso del Método en 1637, también vería la luz un suplemento formado por tres escritos: geometría, meteorología y óptica. Es en este último escrito donde presenta una relación matemática entre los ángulos de incidencia y de refracción de la luz cuando pasa de un medio a otro (del aire al agua, por ejemplo). Dicha relación constituye lo que conocemos como índice de refracción del medio (en este caso del agua, si continuamos con el ejemplo anterior).
Algunos años antes, en 1621, el danés Willebrord Snell también había obtenido empíricamente esta relación matemática entre los ángulos. A pesar de que en los libros de física es más común encontrar el nombre de ley de Snell para referirse al índice de refracción de los materiales que ley de Descartes, fue éste último quien publicó primero dichos resultados. No obstante, la derivación matemática de Descartes tenía un fallo; quizá por ello no figura tanto como debiera en los libros de física.
Descartes consideró que la refracción de la luz, cuando pasaba de un medio menos denso (aire) a otro más denso (agua), era análoga al comportamiento de una pelota cuando atraviesa una red muy fina. Bajo esta analogía —no muy adecuada, por cierto—, él supuso que la componente de velocidad de la pelota a lo largo de la red no se vería afectada por ésta. A través de una argumentación geométrica de la analogía, Descartes obtuvo finalmente la relación de los ángulos de incidencia y refracción, pero su “ley” conducía a valores que no concordaban con lo medido experimentalmente por él. Por ejemplo, en el caso del agua, su “ley” predecía un índice de refracción menor a la unidad, lo cual contradecía las mediciones hechas por Ptolomeo, las cuales mostraban un índice mayor a la unidad (1.33 para ser exactos). Sin embargo, por alguna razón, Descartes no ofreció un argumento sólido para explicar las discrepancias entre lo predicho por su “ley” y los datos experimentales, así como tampoco si el rayo refractado seguía una trayectoria más corta o rápida a pesar de que éstas sí podían visualizarse.
Poco más de treinta años después, en 1650, Pierre de Fermat haría una correcta deducción de la ley de refracción —y por consiguiente de la ley de Snell— al combinar herramientas matemáticas que hoy conocemos como cálculo diferencial y los argumentos geométricos provenientes de Herón de Alejandría sobre la regla de los ángulos iguales. La clave en la derivación de Fermat consistió en suponer que los rayos de luz siguen la trayectoria de menor tiempo y no aquella con la distancia más corta —es decir, una línea recta—. Los índices de refracción obtenidos con el principio del tiempo mínimo de Fermat concordaban con las observaciones experimentales.
Otra deducción correcta sobre el comportamiento de los rayos de luz refractados y la fórmula para el índice de refracción la daría el astrónomo Christiaan Huygens. En 1678, con la publicación de su Tratado sobre a luz, Huygens propuso (de una manera revolucionaria para su época, mucho antes que la teoría cuántica y el trabajo de James Clerk Maxwell) que la luz se comporta como una onda de perturbación en un medio, la cual, a su vez, está conformada por muchas otras partículas diminutas muy cerca unas de otras. De esta manera, si una partícula se perturba, ésta lo hará con su vecinas, etcétera, sumando poco a poco a la amplitud total de la onda.
Haciendo uso de esta analogía de la teoría ondulatoria de la luz, Huygens dedujo la ley de los ángulos iguales para la reflexión y aportó una nueva derivación de la ley de Snell para la refracción, sin necesidad de invocar la suposición de que la luz sigue el camino de menor tiempo. Sin embargo, cabe señalar que considerar a la luz como una onda de perturbaciones de partículas materiales no es del todo correcto; la luz sí es una onda, pero de perturbaciones en campos eléctricos y magnéticos.
Richard Feynman4 decía que “la verdadera gloria de la ciencia es que podemos encontrar una manera de pensar tal que la ley sea evidente”. La historia de la refracción de la luz es un buen ejemplo del esfuerzo intelectual que supone hallar la ley que sea evidente, un camino que ha llevado siglos y algunas de las mentes más preclaras de la humanidad —con todo y sus equivocaciones— para entender fenómenos ópticos desconcertantes como la imagen “desfasada” de un objeto inmerso en agua o tan espectaculares como la formación de un arcoíris.
Martín Méndez
Doctor en Ciencias Aplicadas por el Instituto Potosino de Investigación Científica y Tecnológica A.C. (IPICYT), entusiasta de la divulgación científica y la innovación, más presente en el futuro que en el ahora.
1 Feynman, R., y Leighton, R. Física. Volumen I: Mecánica, radiación y calor. vol. 1, Addison Wesley Longman, 1998.
2 Ibíd. Weinberg, S. Explicar el mundo, Taurus, 2015.
3 Weinberg, ob. cit.
4 Feynman, ob. cit.