La simplicidad es la clave de la verdadera elegancia.
—Coco Chanel
La simplicidad es la máxima sofisticación.
—Leonardo Da Vinci
En el número 60 de la calle Vassar en Cambridge, Massachusetts, se ubica el edificio 24 del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT, por sus siglas en inglés). Si hubiera que erigir algún monumento consagrado a la “incertidumbre”, este rincón de la innovación mundial sería una excelente opción, no sólo por la excelencia de mentes que atrae el MIT, sino por su peso histórico en el desarrollo de la teoría del caos.
Un día de 1961, en el edificio 24 del MIT, el meteorólogo Edward N. Lorenz y las programadoras Ellen Fetter y Margaret Hamilton echaron a andar la computadora Royal McBee LGP-30, para que resolviera las ecuaciones simplificadas de fenómenos convectivos en la atmósfera que había derivado Edward Norton Lorenz.1 Estas ecuaciones cuentan con siete términos y dos no linealidades cuadráticas (las multiplicaciones entre las variables “xz”, “xy”), y tres parámetros, como se puede observar:
Al comparar las gráficas en el tiempo de dos simulaciones, observó que, sin importar que la diferencia en sus condiciones iniciales fuera del orden de milésimas, después de una ventana de tiempo en el que se apreciaban idénticas, las soluciones comenzaban a separarse hasta que las predicciones se volvían completamente diferentes. Si las ecuaciones no tenían ruido experimental, ¿de dónde provenía la discrepancia? ¿Por qué se separaban tanto las soluciones?
Lorenz descartó la posibilidad de un error numérico que se hubiera amplificado en los engranajes del algoritmo utilizado para resolver las ecuaciones en la Royal McBee. Y la conclusión que tuvo que enfrentar fue una que requería un cambio de paradigma: el sistema dinámico codificado en las ecuaciones poseía una sensibilidad extrema a las condiciones iniciales. Esos redondeos numéricos de milésimas de diferencia se amplificaban, llevando a la solución por otros derroteros. Además, la sensibilidad a las condiciones iniciales se apreciaba de manera dramática, porque las soluciones parecían comportarse de manera errática, caótica. De hecho, se pueden calcular a partir de las soluciones ciertos números llamados exponentes de Lyapunov,2 los cuales son una medida de la sensibilidad a las condiciones iniciales del sistema, cuantificando qué tan imprevisible es. Por cada variable que conforma el sistema dinámico se tiene un exponente de Lyapunov. Si alguno de ellos resulta positivo, entonces las soluciones del sistema son caóticas, como en el caso del sistema de Lorenz.
A pesar de que la palabra caos nos remita a una imagen de desorden, si se grafican por pares las variables (x, y, z), se apreciaba que no vagan por el espacio sin ton ni son, sino que van y vienen formando lo que hoy se conoce como las alas de la “mariposa” del atractor caótico de Lorenz. Sus resultados publicados en 1963 abrieron toda una avenida de investigación sobre sistemas complejos: la teoría del caos.3
Sabiendo qué buscar, los científicos comenzaron a hallar caos en múltiples sistemas dinámicos, desde péndulos hasta reacciones químicas, pasando por láseres y ruedas hidráulicas.4 También hallaron la manera de sincronizar y controlar sistemas caóticos, y en la inmensa mayoría de esos casos, el sistema de Lorenz era el “caballito de batalla” preferido para poner a prueba estas ideas.
Sin embargo, nadie parecía haberse preguntando algo fundamental: si el caos existe —es decir, que no se trata de una fabricación numérica proveniente de las computadoras y los algoritmos que resuelven las ecuaciones de manera aproximada—, ¿qué tan común es el caos en los sistemas dinámicos? Más aún, ¿cuál es el sistema caótico más simple posible en comparación con las ecuaciones de Lorenz?
A inicio de los años noventa, Julien Clinton Sprott, físico de formación y entusiasta como pocos en el uso de las computadoras para responder preguntas sobre sistemas dinámicos (y de paso, crear arte), se preguntó justamente lo anterior. Como una primera aproximación, Sprott escribió un algoritmo de búsqueda para hallar soluciones caóticas en sistemas de tres (como el de Lorenz) y cuatro dimensiones con una estructura particular, incluyendo una variable elevada a un exponente cuadrático o cúbico (las no linealidades del sistema).
El uso de la fuerza bruta computacional rindió sus frutos: en la inmensa mayoría de los casos explorados (entre un 90% y 94%), las soluciones no eran caóticas, y éstas terminaban estacionándose en un punto. Pero existía un pequeño porcentaje (entre un 0.4% y 0.6%) de casos donde emergía la dinámica caótica. A pesar de que el porcentaje es muy pequeño, la tendencia era al alta conforme se aumentaba el número de ecuaciones y de exponentes.
Si bien las ecuaciones analizadas por Sprott no necesariamente modelaban un fenómeno físico o natural, constituyen un punto de comparación con otros estudios. Por ejemplo, el análisis reportado en 2022 en la revista Nature Ecology & Evolution.5 Allí, tras analizar una base de datos con 172 series de tiempo correspondientes a la dinámica de población de aves, insectos, mamíferos, entre otros, los investigadores hallaron que existía dinámica caótica en más del 30% de los casos reportados. Después de todo, el caos no es tan raro en los ecosistemas naturales.
Con su investigación pionera, Sprott obtuvo un panorama preliminar de la distribución del caos y el tipo de ecuaciones que podían generarlas. Esto le permitió dar el siguiente paso: enfocarse exclusivamente en sistemas dinámicos de tres dimensiones —el mínimo requerido para la aparición de caos— y con el menor número de términos que involucraran la interacción entre dos variables, o bien, alguna variable elevada a un exponente cuadrático.
Nuevamente, la simbiosis entre intelecto humano y fuerza bruta computacional condujo a la descripción de diecinueve nuevos sistemas caóticos más simples que el de Lorenz6—a los cuales nombró con las primeras diecinueve letras del alfabeto en inglés, es decir, “A”… “S”— que pueden agruparse en dos de los siguientes grupos: el primero está compuesto por cinco sistemas con cinco términos y dos no linealidades; el segundo grupo contiene a los restantes catorce sistemas con seis términos y una no linealidad. Para efectos comparativos con el sistema de Lorenz, vale la pena mostrar dos sistemas representativos del primer y segundo grupo reportados por Sprott, respectivamente.
Sprott sistema B:
Sprott sistema S:
Los diecinueve sistemas caóticos simples encontrados por Sprott parecían el final del camino para responder la pregunta “¿Cuál es el sistema caótico más simple posible en comparación con las ecuaciones de Lorenz?”. Sin embargo, en 1996, Hans Gottlieb, un profesor de la Universidad Griffith, en Queensland, Australia, se dio cuenta que uno de los sistemas caóticos simples descubiertos por Sprott podía reescribirse como una ecuación tipo Jerk (así se conocen a las ecuaciones que toman en cuenta la derivada respecto al tiempo de la aceleración en sistemas mecánicos), y lanzó la siguiente pregunta-reto: ¿cuál es el sistema tipo Jerk más simple que genera caos?7
Espoleado por el reto, Sprott escribió otro algoritmo para responder a la pregunta de Gottlieb. En aquel 1997, le tomó un par de meses a la computadora de Sprott explorar exhaustivamente todos los casos posibles, pero la espera valió la pena.8 El resultado fue el sistema dinámico más simple tipo Jerk que puede genera caos:
Podemos darnos cuenta que el sistema tiene cinco términos, una no linealidad cuadrática, y un parámetro. Se ha demostrado rigurosamente que no puede haber un sistema caótico más simple que éste.
Lo que comenzó como un simple redondeo de cifras en una computadora hace más de sesenta años abrió la puerta al descubrimiento de todo un zoológico de atractores caóticos, donde la simplicidad no está peleada con la complejidad y estética que pueden llegar a exhibir. El profesor Sprott, aunque jubilado, continúa escarbando, con ayuda de las computadoras, nuevos sistemas caóticos con propiedades muy particulares: sigue buscando y mostrándonos la elegancia del caos.
Martín Méndez
Doctor en Ciencias Aplicadas por el Instituto Potosino de Investigación Científica y Tecnológica A.C. (IPICYT), entusiasta de la divulgación científica y la innovación, más presente en el futuro que en el ahora.
1 Sokol, J. “The Hidden Heroines of Chaos”, Quanta Magazine, 2019.
2 Strogatz, S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering, Westview Press, 2014.
3 Lorenz, E. N. Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences 20, 1963, pp. 130–141.
4 Sprott, J. C. “How common is chaos?”, Physics Letters A173, 1993, pp. 21–24.
5 Rogers, T. L. Johnson, B. J. y Munch, S. B., “Chaos is not rare in natural ecosystems”, Nature, Ecology & Evolution 6, 2022, pp. 1105–1111.
6 Sprott, J. C. “Some simple chaotic flows”, Physical Review, E 50, 1994, R647–R650.
7 Gottlieb, H. P. W. “Question ♯38. What is the simplest jerk function that gives chaos?”, American Journal of Physics 64, 1996, pp. 525–525.
8 Sprott, J. C. “Simplest dissipative chaotic flow”, Physics Letters A 228, 1997, pp. 271–274.