La física estadística y el estudio de los sistemas complejos son dos áreas de investigación con una larga tradición de cercanía a las ciencias matemáticas. Esta cercanía, sin embargo, no ha resultado tan evidente o conocida fuera de los círculos más técnicos, como la que han tenido la física de partículas elementales o la teoría de la relatividad. Disciplinas cuyo devenir se asocia con el desarrollo de las matemáticas contemporáneas.
En ese contexto resulta interesante (y muy grato) lo que ha ocurrido este año con la entrega de las medallas Fields y Abacus, así como el premio Premio Carl Friedrich Gauss, todos ellos reconocimientos otorgados por la Unión Matemática Internacional (IMU, por sus siglas en inglés) a los exponentes más importantes (jóvenes y consolidados, respectivamente) en las matemáticas. Los seis ganadores de estas preseas: Hugo Duminil-Copin, June Huh, James Maynard y Maryna Viazovska que obtuvieron la Medalla Fields; Mark Bravermann que ganó la Medalla Abacus y Elliot Lieb que fue distinguido con el Premio Gauss, trabajan en áreas de las matemáticas asociadas cercanamente con la física estadística y las ciencias de la complejidad.
En esta ocasión platicaremos acerca de los ganadores de la Medalla Fields y en una entrega próxima discutiremos el caso de la Medalla Abacus y el premio Gauss.
La Medalla Internacional para Descubrimientos Sobresalientes en Matemáticas o simplemente Medalla Fields, se otorga cada 4 años desde 1936 como el máximo galardón que brinda la comunidad matemática internacional a sus miembros, con la condición adicional de que quienes la reciben no deben tener más de 40 años de edad. Pues bien, resulta que los ganadores de la Medalla Fields este año trabajan en matemáticas centrales para entender la complejidad según la física estadística.
June Huh, matemático coreano de 39 años, es profesor de Matemáticas en la Universidad de Princeton y se dedica a trabajar en la interfase entre la geometría algebráica y el análisis combinatorio. Dicho de manera simple, se ha dedicado a entender cómo podemos agrupar, ordenar y contar objetos de mejor forma. Imagínese, por ejemplo, que queremos saber cuántas naranjas hay en una bodega en la central de abastos. Una manera de saberlo es, claro, simplemente contarlas. Pero esa puede ser una tarea muy agotadora. Imaginemos ahora que pensamos en cuántas naranjas caben en una arpilla, lo que dependerá de cómo las acomodemos (a eso voy después, con el trabajo de Maryna Viazovska). Luego podemos fijarnos en cuántas arpillas caben en un costal, cuántos costales caben en un contenedor de tráiler y cuántos de esos hay en una bodega. También puede ser que la bodega sea mayorista y no tenga arpillas y costales, sino cajas de naranjas. Está claro que el acomodo de los objetos será distinto y el número de naranjas que estimemos puede variar, la pregunta es: ¿qué tanto? Ya que hay varias maneras de acomodar las naranjas y, por tanto, de contarlas.
La teoría que usamos para saber cuántas maneras de acomodar objetos (naranjas o cualquier otra cosa) en grupos y cómo contarlos es el análisis combinatorio. Parece simple, pero el análisis combinatorio es fundamental para la teoría de la probabilidad —base de la física estadística y los estudios de complejidad—, y la criptografía, por citar sólo dos de sus aplicaciones más importantes.
June Huh fue premiado al demostrar que hay una relación entre el análisis combinatorio y la geometría algebráica, una teoría que combina el álgebra abstracta y la geometría analítica. El trabajo de Huh permite convertir las ecuaciones —que generalmente son muy complicadas—, del análisis combinatorio en objetos geométricos, cuyas propiedades pueden ser más fáciles de estudiar para desarrollar la intuición de cómo resolverlas. Sus hallazgos permiten convertir el trabajo de contar (especialmente en entornos muy complicados), en una tarea de dibujar.
Ahora, retomemos el tema de cómo acomodar (las naranjas o cualquier otra cosa) de manera eficiente y para esto nos vamos a concentrar en el trabajo de Maryna Viazovska, que es una matemática ucraniana de 37 años que trabaja en Suiza y es apenas la segunda mujer en la historia en recibir una medalla Fields. El trabajo de Viazovska consiste, por decirlo de manera sencilla, en encontrar “la manera óptima” de acomodar objetos en el espacio. Esta no es una tarea sencilla, como sabrá bien quien haya intentado usar una zapatera (si pongo dos pares sobra mucho espacio y los zapatos se caen, pero si pongo tres pares, no caben). Viazovska, en particular, se ha enfocado en resolver extensiones del problema llamado: La conjetura de Kepler.
En breve, imaginemos que tenemos esferas sólidas iguales y queremos acomodarlas en una caja de tal manera que ocupen la mayor parte del espacio en esa caja. En 1611, Kepler propuso que la mejor manera de hacerlo es poniendo las esferas en un arreglo que se conoce como apilamiento piramidal de caras centradas. Si hacemos esto, las esferas ocupan aproximadamente el 74 % del espacio disponible, o sea, estamos desperdiciando el 26 % de la caja. La pregunta es: ¿hay manera de hacerlo mejor? Todo parece indicar que no. A la fecha, no existe una prueba formal de la conjetura de Kepler ¡411 años después! Pero en 1998 se presentó una propuesta de prueba computacional, que implicaba una ecuación en 150 variables y con cerca de 5 000 arreglos diferentes presentados en cerca de 3 GB de códigos de computadora.
En cualquier caso, aún no hay una prueba definitiva de este problema. Sin embargo, las generalizaciones de éste nos pueden enseñar mucho de cómo resolverlo junto con otros problemas relacionados.
Entre las razones para otorgar la medalla Fields a Viazovska fue que ella desarrolló pruebas exactas de la Conjetura de Kepler en 8 y 24 dimensiones. Aunque pueda parecer extraño, tales pruebas iluminan de manera importante lo que pasa con el problema de empaquetamiento en las dimensiones 2D y 3D, las más cercanas a nuestra cotidianidad. Así que, de manera similar, como el trabajo de Huh, nos permite contar objetos mejor, y el de Maryna Viazovska nos enseña algo sobre cómo acomodar estos objetos.
El problema de empaquetamiento, además de ser muy importante para las matemáticas formales —es posible convertir, por ejemplo, hipótesis de lógica, topología o teoría de nudos en formas de acomodar objetos en el espacio—, es muy importante para la física de la materia condensada (por ejemplo, el hecho de que el hielo flote en agua se debe a que las moléculas de agua se acomodan de una manera sub-óptima al condensarse y dejan más espacio vacío que el que tienen en estado líquido, disminuyendo así su densidad, haciendo que el hielo flote en agua líquida), la ingeniería de materiales (las propiedades del grafeno y otros materiales de alta tecnología, como los semiconductores, dependen del acomodo de sus átomos en el espacio), e incluso la arquitectura y la ingeniería civil (las cúpulas deben su enorme resistencia al acomodo de los ladrillos o lajas en el espacio). Hay muchas cosas que sabemos acerca del empaquetamiento óptimo y hay muchas cosas que nos hace falta descubrir. El trabajo de Viazovska contribuirá seguramente a que entendamos más acerca de este importante tópico.
El tercer ganador de la Medalla Fields de este año es Hugo Duminil-Copin, matemático francés de 36 años que trabaja en la Universidad de Ginebra y en el Instituto de Altos Estudios Científicos en Francia. Duminil-Copin trabaja en el área de teoría de la probabilidad y su medalla es, de entre las tres ya mencionadas, quizá la más cercana a la física estadística.
Al inicio de su carrera, Hugo dudaba entre dedicarse a la física o a las matemáticas y, de hecho, se hizo acreedor a la Medalla Fields por "resolver problemas clásicos en la teoría probabilística de transiciones de fase en física estadística, especialmente en las dimensiones tres y cuatro".
Específicamente, Duminil-Copin trabaja en “el problema de percolación”, estudia fenómenos como el flujo de un fluido en un medio poroso, la formación de componentes conectados en redes aleatorias, la diseminación de una enfermedad infecciosa, la circulación de un rumor, el avance de los incendios forestales o, en general, el transporte en medios irregulares o inhomogéneos.
Para entender el fenómeno de percolación en un grafo aleatorio, tema central en el trabajo de Duminil-Copin, imaginemos que tenemos una malla muy grande (en principio infinita) de puntos. Pensemos en dos de esos puntos e imaginemos que vamos a tirar una moneda: si cae “sol”, dibujamos una línea que una los dos puntos; si cae “águila”, entonces no dibujamos la línea. Luego hagamos lo mismo para cada par de puntos. Para hacerlo más general, pensemos en una moneda cargada que puede caer “sol” con probabilidad de 5 %, 20 %, 80 %. Es claro que conforme más grande hacemos esta probabilidad crece la posibilidad de que muchos de los puntos estén conectados y el sistema “percole” (si los puntos fueran parte de un material y las líneas que los unen fueran “poros”, la percolación implica que un líquido podría fluir a través del material por los poros).
Dependiendo de la disposición espacial de la malla de puntos hay un valor umbral en la probabilidad de tener “sol” y pintar las líneas que hace que sea posible atravesar la malla o cubrir todos sus puntos o algún otro fenómeno similar. Ese valor umbral define lo que se llama una transición de fase. Para ilustrarlo de manera dolorosamente familiar, imaginemos un agente infeccioso como el virus SARS-CoV-2: dependiendo de la disposición de las personas (puntos) en el espacio y de la capacidad infecciosa del virus (la probabilidad de dibujar una línea entre dos puntos, o sea que se presente un contagio) hay un momento en que la enfermedad pasa de estar contenida (unos pocos puntos aislados conectados) a volverse una epidemia (cada punto está en posibilidad de conectarse al componente infeccioso). Predecir esta “transición epidémica de fase” es, de hecho, un problema muy difícil y muy importante. Pues bien, las teorías matemáticas que nos permiten entender, desde el punto de vista de la probabilidad esta clase de fenómenos, están detrás del trabajo por el que Hugo Duminil-Copin recibió la Medalla Fields.
El cuarto ganador de la Medalla Fields de este año es el matemático británico James Maynard, de 35 años. Maynard se dedica a la teoría de números y es profesor en la Universidad de Oxford. Su trabajo es igual de sobresaliente que el de los ganadores ya mencionados, sin embargo tiene una relación menos directa con la física estadística, aunque quizá más cercano a la teoría de complejidad. Maynard recibió la Medalla Fields por sus contribuciones para entender cómo están espaciados los números primos.
Como recordamos, un número es primo si sólo puede ser dividido entre sí mismo y entre 1 para dar por resultado un entero. Los números 1, 2, 3, 5, 7, 11, son primos, mientras que 4, 6, 8, 9, no lo son. Saber si un número es primo consiste en intentar factorizarlo: si esto se logra y los factores son diferentes de 1 y de él mismo entonces no es primo. Establecer si un número es o no primo se vuelve cada vez más difícil con elementos muy grandes. Más aún, no se ha encontrado un algoritmo que permita saber de antemano si un número será primo hasta no factorizarlo. Adicionalmente, muchos otros problemas en matemáticas se han podido relacionar con la predicción de números primos.
Maynard ha logrado avanzar en nuestro entendimiento de cómo están espaciados los números primos. Su trabajo, aunque importantísimo, no tendría relación con la física estadística y las ciencias de la complejidad sino fuera por el hecho de que él ha decidido estudiar este problema usando ideas de la teoría de la probabilidad. Maynard imaginó la recta numérica como parte de un proceso aleatorio en el que, de cuando en cuando, uno de los números en ella es primo; haciendo esto, logró disminuir muchísimo una cota máxima previamente establecida por otro matemático. Anteriormente, se pensaba que dos primos consecutivos no estaban separados por más de 70 millones. Maynard estableció que hay un número infinito de números primos separados por 600.
Resulta además significativo que, siendo logros matemáticos muy sofisticados los que llevaron a Huh, Viazovska, Duminil-Copin y Maynard a ser merecedores de la Medalla Fields, éstos son también extensiones “naturales” de asuntos tan cotidianos como contar, agrupar, dibujar o trazar una ruta. Destacar más estos fundamentos es clave, en mi opinión, para acercar a más personas a las ciencias exactas.
Enrique Hernández Lemus
Investigador del Instituto Nacional de Medicina Genómica, de la Secretaría de Salud, así como del Centro de Ciencias de la Complejidad de la UNAM