Para él, estar enamorado de Delia había sido siempre así, como en el espejo de esa gruta: haber entrado en un mundo más allá de la palabra.
—“La aventura de un poeta”, Los amores difíciles, Italo Calvino.
Decía el físico Eugene Wigner en su texto sobre La irrazonable eficacia de la matemática en las ciencias naturales1 que “la enorme utilidad de la matemática en las ciencias naturales es algo rayano en el misterio, y que no existe ninguna explicación racional para ello”. Más que un misterio por resolver, algunos científicos han considerado esta irrazonable ineficacia como una invitación a matematizar fenómenos tan profundamente humanos como las relaciones amorosas, esas parcelas de la experiencia humana donde típicamente retozan a sus anchas poetas, novelistas y cantantes, pero no físicos o matemáticos.
Uno de los pioneros en la elaboración de modelos matemáticos para describir las relaciones amorosas ha sido Steven Strogatz.2 Para describir los posibles comportamientos entre dos amantes, Strogatz recurre a Shakespeare, le pide prestados a Romeo y Julieta, y modela sus intereses sentimentales en términos de ecuaciones diferenciales (lineales) las cuales tienen esta apariencia:
\begin{array}{l}
\frac{dR( t)}{dt} +aR( t) \ +\ bJ( t)\\
\end{array}
\begin{array}{l}
\frac{dR( t)}{dt} +cR( t) \ +\ dJ( t)\\
\end{array}
Las ecuaciones contemplan dos variables: R(t), la cual denota el amor de Romeo por Julieta en el tiempo (t); de manera similar, J(t), establece el amor de Julieta por Romeo en algún instante de tiempo. Ambas variables pueden adquirir valores positivos o negativos. Por ejemplo, un valor positivo de R(t) indica que Romeo ama o siente interés por Julieta; caso contrario, un valor negativo indicaría el odio o apatía de Romeo hacia Julieta. La misma convención de los signos aplica para los sentimientos de Julieta hacia Romeo. En este sentido, las expresiones al lado izquierdo de la igualdad en ambas ecuaciones denotan el cambio de los sentimientos tanto de Romeo como de Julieta con respecto al tiempo: valores positivos indican que los sentimientos aumentan conforme avanza el tiempo, y disminuyen si adquieren valores negativos.
Al tratarse de un sistema dinámico de dos variables, podemos visualizar el comportamiento de los amantes en un eje cartesiano, donde el eje horizontal corresponde a R(t), y el eje vertical a J(t). De manera general contamos entonces con cuatro cuadrantes, donde podemos cartografiar los sentimientos de ambos amantes (véase imagen siguiente). Por ejemplo, en el primer cuadrante, ambos amantes se corresponden mutuamente (los dos tienen sentimientos positivos). En el segundo cuadrante hay una inconsistencia entre la pareja ya que Romeo no desea a Julieta (signo negativo), pero ella a él sí (signo positivo); con ello en mente, podríamos decir que el cuarto cuadrante es la imagen espejo del segundo cuadrante puesto que se invierten los roles: ahora es Julieta quien no desea a Romeo, pero él a ella sí. Finalmente, en el tercer cuadrante ambos tienen sentimientos de apatía u odio, por lo que probablemente terminen separándose debido al enfriamiento de la relación. Sin embargo, una apatía absoluta entre los amantes sería el punto de equilibrio de las ecuaciones diferenciales, es decir, aquel donde R(t) = J(t) =0.
Eje cartesiano de los sentimientos de Romeo y Julieta
Lo ideal es que los sentimientos de Romeo y Julieta retocen el mayor tiempo posible en el primer cuadrante. Pero no todo en el amor es miel sobre hojuelas. Las personas, al igual que los sentimientos, cambian, y los intereses de los involucrados en una relación sentimental pueden divergir o quedar atrapados en ciclos viciosos.
¿Qué pueden esperar Romeo y Julieta en términos sentimentales? ¿Qué les tiene preparado Cupido? En general, los estilos románticos entre los amantes dependerán de los parámetros —las literales a, b, c y d— que afectan a las ecuaciones y que se consideran fijos a lo largo del tiempo. Los valores de los parámetros pueden ser positivos o negativos y, dependiendo de la combinación de sus signos, se pueden presentar múltiples escenarios románticos.3 Por ejemplo, si a y b son positivos quiere decir que Romeo es espoleado tanto por sus propios sentimientos como por los de Julieta.
También puede ocurrir que a sea positivo pero b negativo; es decir, Romeo ciertamente está motivado, desea más de lo que siente, pero al mismo tiempo se aleja de los sentimientos de Julieta; en otras palabras, podría decirse que se comporta como un narcisista.
Ahora, ¿qué sucede cuando a es negativo y b es positivo? En éste estilo romántico, Romeo actúa como un amante cauteloso ya que inhibe sus propios sentimientos, pero los sentimientos de Julieta hacia él lo motivan. Finalmente, cuando a y b son negativos, a Romeo no le importan ni sus sentimientos ni los de Julieta hacia él: se vuelve un apático sentimental. Todos estos estilos románticos también tienen su reflejo en Julieta al realizar el mismo ejercicio de los signos, pero en los parámetros c y d.
La combinación de signos entre los cuatro parámetros en las ecuaciones diferenciales conduce a diez posibles tipos de relación sentimental. Exploremos cómo evolucionan en el tiempo los sentimientos de Romeo y Julieta para algunos valores particulares en los parámetros.
Comencemos con la mejor de las intenciones. Supongamos que los sentimientos de Romeo y Julieta se corresponden mutuamente, es decir, todos los parámetros son positivos. Al resolver las ecuaciones diferenciales para distintos puntos iniciales —las primeras impresiones también tienen voz y voto— se puede observar la siguiente dinámica4 de los sentimientos de los amantes: al punto de equilibro se le conoce matemáticamente como punto de ensilladura,5 el cual es inestable. Como consecuencia, la evolución temporal de los sentimientos de Romeo y Julieta van a ser repelidos cuando se acerquen al punto de equilibrio (nótese cómo las flechas se alejan de ese punto).
¿A qué cuadrante se dirigen las soluciones? Si la primera impresión de los amantes se ubica en el cuadrante I, sus sentimientos seguirán creciendo (amor mútuo). Sin embargo, la situación puede complicarse un poco si los amantes tienen su primera impresión en el cuadrante II. Aquí, si en primera instancia los sentimientos de Julieta no son lo suficientemente positivos, la relación puede caer en una indiferencia mútua, es decir, los sentimientos de los amantes se irán al cuadrante III. Por el contrario, si los sentimientos de Julieta son fuertes (una primera impresión bastante positiva), la relación podrá evolucionar hacia el interés mútuo en el cuadrante I. Algo similar ocurre con los sentimientos y primeras impresiones de Romeo cuando éstas tienen lugar en el cuadrante IV: la relación sentimental puede crecer hasta hacerse compatible (cuadrante I) o insufrible (cuadrante III).
Ensilladura. Dependiendo de los parámetros y primeras impresiones, Romeo y Julieta pueden amarse u odiarse
Ahora bien, ¿qué sucede con el mito de que los polos opuestos se atraen? Matemáticamente esto se logra al suponer que c=-b y d=-a. También consideremos que los sentimientos de la media naranja son más fuertes que los propios, es decir, que el valor de b sea mayor que el de a en términos absolutos.
La dinámica sentimental resultante es un ciclo interminable de amor u odio (círculos alrededor del punto de equilibrio, clasificado matemáticamente como centro),6 donde las amplitudes de las oscilaciones de sus sentimientos dependerán de la primera impresión. Es decir, si la primera impresión se da cerca del punto de equilibrio, la amplitud de sus vaivenes sentimentales será pequeña, mientras que los vaivenes aumentarán (círculos más grandes) si la primera impresión ocurre lejos del equilibrio. Bajo esta perspectiva, podemos decir que Romeo y Julieta quedan atrapados en una relación viciosa, sin llegar a separarse. Aunque si sirve de consolación, una cuarta parte del tiempo disfrutarán de las mieles del amor (cuadrante I).
Ciclo interminable de amor y odio entre Romeo y Julieta
Este último escenario dinámico probablemente no se sostenga ante la evidencia de un estudio realizado en 2016 por investigadores de la Universidad Wellesley en Massachusetts y la Universidad de Kansas.7 Después de analizar las similitudes de 1523 parejas concluyeron que mientras menos afines sean las parejas, sus probabilidades de continuar juntos son menores también: al final del día, la afinidad en varios aspectos pesa más que esa fascinación o enamoramiento sorpresa que puede causar toparse con alguien que es nuestro opuesto en ciertos aspectos.
Otros escenarios dinámicos son posibles dependiendo de las magnitudes y signos que se asignen a los parámetros,8 pero la inclusión de un tercero en la relación sentimental —triángulo amoroso, el tercero en discordia— puede dar lugar a dinámica más compleja, como la aparición de caos.
El físico Julien Sprott9 jugó con la posibilidad de que Romeo tuviera una amante, donde ella y Julieta no se conocen; es decir, ambas son ajenas a los lances amorosos de Romeo hacia cada una de ellas. El modelo resultante contempló cuatro variables y seis parámetros, con interacciones no lineales entre los participantes del triángulo amoroso. Tras una búsqueda computacional de distintas combinaciones de parámetros que simulaban todos los posibles estilos románticos, halló algunos en los que la evolución en el tiempo de los sentimientos de Romeo y Julieta se vuelven caóticos. Una particularidad de los sistemas caóticos es su sensibilidad a las condiciones iniciales, las primeras impresiones en el contexto de los amantes: no importa qué tan cercanas sean dos (o más) primeras impresiones entre los miembros del triángulo amoroso, a la larga, la evolución sentimental de todos ellos en cada caso será completamente distinta.10 Una muestra del comportamiento caótico se puede observar en la imagen siguiente.
Atractor caótico proveniente del modelo del triángulo amoroso no lineal
Existen otras preguntas por explorar en cuanto a las interacciones del triángulo amoroso en el modelo reportado por Sprott, por ejemplo, ¿qué sucede si Julieta sí tiene conocimiento del tercero en discordia, pero éste no? O bien, ¿qué pasaría si Julieta decide aceptar los lances de otro amante además de los de Romeo? Todas estas son preguntas abiertas que incrementan tanto la complejidad del modelo como su dinámica.
Después del trabajo de Sprott, otros científicos han propuesto modelos alternativos que incluyen funciones matemáticas que codifican la competencia entre los amantes. Se ha encontrado que, en condiciones adecuadas de competencia, el comportamiento caótico11 se presenta como un escenario dinámico viable para los amantes.
La seriedad de los científicos por abordar un tema tan lleno de matices entre los humanos ha llegado al punto de tomar prestadas las herramientas del control de procesos para formular estrategias que optimicen el esfuerzo de pareja12 para que la relación sentimental no encalle en la turbulencia del mundo moderno. Aunque todo esto pueda parecer un mero ejercicio académico, algunos modelos han demostrado ser lo suficientemente buenos para predecir el divorcio y la estabilidad marital.13 Bajo esta perspectiva no resulta descabellado pensar en próximas sesiones de pareja que incluyan matemáticos en el diseño de terapias que ayuden a mantener viva la llama del amor.
Martín Méndez
Doctor en Ciencias Aplicadas por el Instituto Potosino de Investigación Científica y Tecnológica A. C. (IPICYT), entusiasta de la divulgación científica y la innovación, más presente en el futuro que en el ahora.
1 Wigner, E. P., “The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences. Richard Courant lecture in mathematical sciences delivered at New York University”, Communications on Pure and Applied Mathematics 13, pp. 1–14, 1960.
2 Strogatz, S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering, CRC Press, 2018.
3 Strogatz, ob. cit.
4 Haciendo uso de la teoría de matrices, es posible asociar los parámetros de las ecuaciones diferenciales a una ecuación característica. Para el caso que nos ocupa se tienen dos variables, por lo que la ecuación característica será cuadrática. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales alrededor del origen se acercarán (alejarán) u oscilarán depeniendo de si las raíces de dicha ecuación son reales (positivas o negativas) o complejas conjugadas, respectivamente.
5 Strogatz, ob. cit.
6 Strogatz, ob. cit.
7 Bahns, A. J., y otros. “Similarity in relationships as niche construction: Choice, stability, and influence within dyads in a free choice environment”, Journal of Personality and Social Psychology 112, 2017, pp. 329–355.
8 Strogatz, ob. cit
9 Sprott, J. C. “Dynamical Models of Love”, Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences 8, 2004.
10 Strogatz, ob. cit.
11 Liu, W., y Chen, K. “Chaotic Behaviour in a New Fractional-Order Love Triangle System with Competition”, Journal of Applied Analysis and Computation 5, pp. 103–113, 2015.
12 Herrera de la Cruz, J., y Rey, J. M. “Controlling forever love”, PLOS ONE 16, e0260529, 2021.
13 Gottman, J. M., y otros. The Mathematics of Marriage: Dynamic Nonlinear Models, MIT Press, 2005.