Un 9 de abril de 1959, a los 92 años, llegaba el fin de la visión de uno de los más grandes arquitectos estadunidenses: Frank Lloyd Wright. Su vida no estuvo exenta de altibajos económicos, creativos y sentimentales, pero supo ingeniárselas para dejar un legado de 532 trabajos arquitectónicos terminados (de los más de 1000 diseñados) a lo largo de 70 años. No alcanzó a ver uno de sus edificios más icónicos —proyecto al que le dedicó dieciséis años—: seis meses después de haber fallecido, el museo Guggenheim en Nueva York abría sus puertas. Transcurrirían 60 años para que, en julio de 2019, la Organización de las Nacionales Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (Unesco) declarara al museo Guggenheim, y a otras siete obras arquitectónicas de Wright, como Patrimonio de la Humanidad; una pequeña muestra de la arquitectura orgánica concebida por Wright, caracterizada “por el plan abierto de las construcciones, la difuminación de los límites entre el interior y el exterior de éstas, y la utilización extremadamente original de materiales como el acero y el hormigón”.
A pesar de ser el principal proponente de la arquitectura orgánica, Wright no proporcionó una definición clara y precisa de su significado. Sin embargo, la constante alrededor de la cual gravitan muchas de las definiciones sobre arquitectura orgánica es la naturaleza. El propio Wright la pone al centro de su inspiración al escribir:1
Principalmente, la naturaleza proporcionó los materiales para los motivos arquitectónicos a partir de los cuales las formas arquitectónicas como las conocemos hoy se han desarrollado, y, aunque nuestra práctica durante siglos ha sido en su mayor parte alejarnos de ella, buscando inspiración en los libros y adhiriéndonos servilmente a fórmulas muertas, su riqueza de sugerencias es inagotable.
Y añadía, con intensidad religiosa, que deseaba “más vida a los ritmos creativos de la gran Naturaleza, Naturaleza con N mayúscula como deletreamos Dios con D mayúscula. ¿Por qué? Porque la Naturaleza es todo el cuerpo de Dios que los mortales veremos alguna vez”.2 A la deidad de la Naturaleza, Wright sumaría la de la geometría. En su autobiografía, Wright coloca a Pitágoras —y a su escuela de pensamiento que veneraba al número, al espacio y a la armonía— en primer lugar de una lista de 33 figuras históricas más influyentes en su carrera. Un ejemplo de esta influencia son las ventanas de la casa Darwin D. Martin, las cuales están organizadas en una serie de proporciones que las dotan de una cualidad musical. Este hecho hunde sus raíces históricas en el trabajo del filósofo y matemático griego, quien describió los intervalos musicales al pasar por delante de una fragua y notar cierta armonía en los tonos que producía el golpeteo de los martillos.
Pero, ¿hasta qué punto las obras arquitectónicas de Wright lograron emular la simbiosis entre la naturaleza y la geometría? ¿Cómo cuantificarlo más allá de la opinión de los expertos o el éxito comercial durante su época? Por ejemplo, a simple vista, muchas de las casas diseñadas por Wright no parecen estar inspiradas en la naturaleza; sin embargo, la geometría —rectángulos, triángulos y curvas— forman un mosaico espacial que, primero, rapta la mirada del espectador, para después envolverlo en un aura de asombro y tranquilidad… precisamente como cuando se contempla a la naturaleza.
Una posible explicación del efecto provocado por la arquitectura de Wright podría, en parte, deberse a la fractalidad en sus obras. Uno de los forjadores de la teoría matemática conocida hoy en día como geometría fractal fue Benoit Mandelbrot, quien en 1975 la utilizó para describir y comprender las formas irregulares y fragmentadas presentes en la naturaleza.3 Allí donde la geometría euclidiana fracasa para describir la forma de las nubes, montañas, costas, ramas de los árboles, etc., la geometría fractal ofrece un punto de apoyo para escudriñar y cuantificar la complejidad de la naturaleza al identificar patrones y sus repeticiones a distintas escalas de longitud; en otras palabras, un fractal es una figura que preserva su forma sin importar a qué escala se observe (propiedad de autosimilitud). Los ejemplos típicos son las muñecas rusas que se anidan una y otra vez, volviéndose más pequeñas, pero preservando la forma y detalles de la muñeca más grande; lo mismo aplica para el brócoli o las ramificaciones de los árboles.
Otra característica de los fractales es que su dimensión no es entera sino fraccionaria, por ejemplo 1.5 o 1.7.4 Uno de los métodos más útiles y fáciles de implementar en el cálculo de la dimensión fractal es el conteo por cajas, donde se aplica una cuadrícula a una imagen (como, por ejemplo, los planos arquitectónicos) y se determina cuántas “cajas” son necesarias para describir el conjunto formado por la imagen mientras la cuadrícula se hace cada vez más fina hasta cierto límite.5
De esta manera, en el contexto de la arquitectura, la dimensión fractal se utiliza para identificar y cuantificar la textura de las progresiones de los detalles autosimilares de escalas grandes a pequeñas, funcionando como una herramienta matemática que permite calibrar la mezcla de orden y sorpresa de una construcción.2
Tomando en consideración que un edificio o casa no es un objeto enteramente matemático, sus características fractales sólo se pueden apreciar en un rango limitado de escala. Típicamente, como observadores a cierta distancia, primero centraremos nuestra atención en el plano general y, conforme nos acerquemos a la construcción, nos fijaremos en los patrones de las ventanas; luego, prestaremos atención a los motivos de las puertas y marcos; la progresión de los detalles y texturas continuará al interior de la construcción. Así pues, ¿en qué región del “espectro fractal” se halla la obra de Frank Lloyd Wright?
Un estudio de 2015 analizó las dimensiones fractales de los alzados y plantas de cinco casas construidas por Wright en un estilo pradera, caracterizadas por líneas horizontales, aleros en voladizo, techos de poca pendiente, y un plano de planta abierto, así como un hogar central: la casa Henderson (Elmhurst, Illinois; 1901); la casa F. F. Tomek (Riverside, Illinois; 1901-1907); la casa Robert W. Evans (Chicago, Illinois; 1908); la casa Jesse Ziegler (Frankfort, Kentucky; 1910); la casa Robie (Chicago, Illinois; 1908-1910).
Utilizando el conteo por cajas, los investigadores calcularon la dimensión fractal para cada elevación de las casas y después generaron un promedio. Así, esta dimensión fractal general sirve como una aproximación de las cualidades visuales de la casa cuando ésta se aprecia desde el exterior. Ordenadas de menor a mayor dimensión fractal, se tiene que la casa Ziegler posee la menor dimensión fractal de las cinco, con 1.54; le sigue la casa Henderson, con 1.56; en tercer lugar está la casa Tomek, con 1.57; la casa Robie y Evans son las de mayor dimensión fractal, con 1.59 y 1.60, respectivamente. ¿Qué nos dicen estos valores?
Gracias al estudio de los fractales, ahora sabemos que, sin importar su origen —ya sea generados por procesos naturales, ecuaciones matemáticas o por la mano de un artista—, se pueden distinguir tres rangos de preferencia estética según la dimensión fractal.6 Si el rango de dimensión fractal se ubica entre 1.1 y 1.2, así como de 1.6 a 1.9, la preferencia de atención es baja; sin embargo, para un rango de 1.3 a 1.5, la preferencia es elevada; ésta es la ventana de atención para el ojo humano. Y las cinco casas analizadas de Wright se ubican justo por encima de este límite. Esto podría explicar el placer estético que produce observar las casas de Wright.
Otra de las casas de Wright que llama la atención por sus cualidades fractales es la casa Palmer (Ann Arbor, Michigan; 1950-1951). Su diseño resalta la figura del triángulo equilátero, el cual se convierte, en distintas escalas, en una presencia central en toda la casa: su entrada está marcada por una lámpara triangular; los bloques de arcilla que acompañan a las escaleras tienen patrones triangulares, al igual que el piso de hormigón colado; el techo forma triángulos de gran dimensión; las luces triangulares insertadas en el plafón, así como otros detalles más pequeños que recorren las estancias, refuerzan la sensación de compresión y expansión cuando se pasa de una habitación a otra.
Leonard Eaton, estudioso de la arquitectura de Wright, consigna lo siguiente:3
Muchos de los clientes de Wright han observado que [él] hace que los espacios pequeños parezcan grandes y ofrece nuevos descubrimientos a lo largo de toda una vida de contacto. Es típico de los fractales (el copo de nieve de Koch es un ejemplo) que posean perímetros grandes, incluso perímetros teóricamente infinitos, que encierran un área finita. Así, también, la arquitectura de Wright serpentea sin fin, llevándonos a lo largo y a través de infinidades de experiencias entre sus espacios delimitados fractalmente, a menudo dentro de lo que, como aquí, no es en absoluto un edificio grande.
El cómputo de la dimensión fractal no sólo se está utilizando para cuantificar el grado de complejidad visual de una obra arquitectónica, sino también para comparar el grado de similitud que dicha obra pueda tener con sus alrededores. Es decir, se busca responder qué tanto un edificio o casa se mimetiza con la naturaleza que le rodea, una idea subyacente en el concepto de arquitectura orgánica.
Recientemente, la casa de la cascada (diseñada en 1930) o residencia Kaufmann, una de las más famosas de Wright a nivel mundial y considerada como uno de los ejemplos más notables de conexión visual entre el edificio y la naturaleza circundante, fue puesta a prueba a través de la medición de la dimensión fractal, tanto de la casa como del entorno natural en el que se encuentra enclavada.7 El análisis comparó la medición de veinte análogos del paisaje natural (la cascada que corre, distintas vistas de las rocas y forma del valle, la vegetación, etc.) y ocho vistas de la casa. Por un lado, la comparación de estas mediciones indica que algunas vistas de la casa muestran un grado de similitud con el paisaje, mientras que, por otro lado, ciertas vistas y el paisaje son disímiles. Por lo anterior, el conjunto completo de resultados no respalda la creencia de que la casa de la cascada tenga claras similitudes visuales con la naturaleza que la rodea.
A pesar de que este resultado pueda parecer un poco descorazonador para explicar la fascinación visual que ejerce la casa de la cascada, probablemente sirva para impulsar la curiosidad de una nueva generación de arquitectos que retome la visión orgánica propuesta por Frank Lloyd Wright, y la extiendan no sólo para el placer visual de nosotros, sino para navegar o cohabitar en espacios que nos hagan sentir uno con la naturaleza.
Vitruvio, en su obra De Architectura, establece que los edificios deben construirse con atención a la firmeza, la comodidad y la hermosura (firmitas, utilitas, venustas, conocida como la tríada de Vitrubio). ¿Habremos de incluir también la noción de fractalidad?
Martín MéndezDoctor en Ciencias Aplicadas por el Instituto Potosino de Investigación Científica y Tecnológica A.C. (IPICYT), entusiasta de la divulgación científica y la innovación, más presente en el futuro que en el ahora.
1 Bovill, C. Fractal Geometry in Architecture and Design, Springer Science & Business Media, 2013.
2 Williams, K., y Ostwald, M. J. Architecture and Mathematics from Antiquity to the Future: Volume II: The 1500s to the Future, Birkhäuser, 2015.
3 Mandelbrot, B. B. La geometría fractal de la naturaleza, Tusquets Editores, 1997.
4 En caso de que se trate de un objeto en tres dimensiones, la dimensión fractal se ubicará entre 2 y 3. Por el contrario, la dimensión de un punto es cero, la de una línea recta es 1, y la de un cuadrado es 2.
5 Ostwald, M. J. y Vaughan, J. The Fractal Dimension of Architecture, Birkhäuser, 2016.
6 Spehar, B., y otros. “Universal aesthetic of fractals”, Computers & Graphics 27, 2003, pp. 813–820.
7 Vaughan, J., y Ostwald, M. J. “Measuring the geometry of nature and architecture: comparing the visual properties of Frank Lloyd Wright’s Fallingwater and its natural setting”, Open House International 47, 2021, pp. 51–67.